(FUVEST) Polinômios

Suponha que o polinômio do 3º grau P(x) = x³ + x² + mx + n, onde m e n são números reais, seja divisível por x - 1.
a) Determine n em função de m.
b) Determine m para que P(x) admita raiz dupla diferente de 1.
c) Que condições m deve satisfazer para que P(x) admita três raízes reais e distintas?

Sabe-se que todo polinômio P(x) divisível por x-a tem a propriedade de a ser raiz, isto é: P(a) = 0
Sendo assim, temos:
a) Se P(x) é divisível por x-1, logo P(1) = 0, então substituindo-se 1 por x na função temos:
(1)³ + (1)² + (m)(1) + n = 0
E então obteremos que n = - m - 2

b) Para que P(x) admita raiz dupla então o delta deverá valer zero, ou seja, se utilizarmos o dispositivo prático de Briout-Rouffini, sabendo que P(x) é divisível por x-1, teremos:

___| 1_____1____ m________ n
1   | 1 ___  2  __  m+2 ____m+n+2

Então P(x)=(x-1)(x² + 2x + (m+2))
Para que tiremos uma raiz dupla, então o delta deve ser igual a 0, ou seja (2)² - 4(1)(m+2) = 0 => m = -1

c)Para que P(x) admita três raízes reais e distintas teremos que delta deve ser maior do que 0, e m seja diferente de 1

Logo: (2)² - 4(1)(m+2) > 0
m < -1

resolvendo o Bháskara:

Só um adendo pro segundo item (e um exemplo de aplicação onde derivada pode ser útil no escopo do ensino médio).

Se um polinômio tem raiz múltipla, todas as derivadas deste polinômio até ordem (multiplicidade da raiz - 1) também terão como solução esta raiz. Pode ser que nesse exercício especificamente isso complique um pouco as coisas, mas poderiamos fazer assim:

- Assumir 'u' como raiz do polinômio e fazer P(u) = 0
- Como essa raiz é dupla, P'(u) = 0
- Resolver a equação de segundo grau que obtemos no passo anterior para 'u', descobrindo 'u' em função de m
- Usar o restante das equações pra descobrir m e n

Btw, legal esse novo fórum